Les intérêts simples

1.     Définition et calcul pratique :

Définition des intérêts simples :

Dans le cas de l’intérêt simple, le capital reste invariable pendant toute la durée du prêt. L’emprunteur doit verser, à la fin de chaque période, l’intérêt dû.

Remarques :

• Le capital initial reste invariable. en outre il est variable dans le cas des intérêts composés
• Les intérêts payés sont égaux de période en période.
• Le montant des intérêts est proportionnel à la durée du prêt.

Calcul pratique :

Si nous désignons par : C : le capital placé ;

t : le taux d’intérêt annuel pour 100 DH ;

n : la période de placement en années ; 

i : l’intérêt rapporté par le capital C

 On sait que :        

Si la durée est en jours : I = C*t*j / 360

Si la durée est en mois : I = C*t*m / 12

Si la durée est en année : I = C*t*n

N.B : la durée (n) et le taux doivent être homogènes :

·        Si t représente un taux annuel alors n doit être exprimé en années.

·        Si t représente un taux semestriel alors n doit être exprimé en semestres.

·        Si t représente un taux trimestriel alors n doit être exprimé en trimestres.

·      Si t représente un taux mensuel alors n doit être exprimé en mois…….

2.     Méthode des nombres et des diviseurs fixes :

Principe :

On part de la formule : C*t*n/36000, n étant exprimé en jours.

Divisons par t les deux membres, on obtient :

Ou encore
Posons
N=C*n et D=36000/t, alors la formule peut s’écrire :

I=D/N avec N le nombre et D le diviseur fixe.

Exemple :
Quel est l’intérêt global des capitaux suivants placés à 12 % ?
68 000 pendant 45 jours
45 250 pendant 96
29 750 pendant 147
15 760 pendant 265
36 148 pendant 36
26 855 pendant 128
Calcul du diviseur fixe D = 36 000/t = 36 000/12 = 3 000
Tableau de calcul :

On sait que I=N/D=20 692 418/3 000

3.     La valeur définitive ou la valeur acquise :

        La valeur définitive du capital  (C) après (n) périodes de placement est  la somme du capital et des intérêts gagnés.  

Si nous désignons par (Va) la valeur acquise alors :

Va=C+I=C+(C*t*n)=C (1+t*n)

Exemple:

·        Si la durée de placement est de 2 ans

·        Si la durée de placement est de 8 mois

·        Si la durée de placement est de 10 jours

·        Du 15 mai au 20 juillet

4.     Application :

·        Combien dois-je prêter, au taux de 5 %, pour me faire rembourser 1650 DH dans 2 ans ?

·        Dans le même cas précédent, supposons que nous aurons besoin de 1800 DH dans 2 ans au lieu de 1500 DH. Quel serait le taux (annuel) d’intérêt simple qui permet un tel remboursement ?

5.     Taux moyen et taux proportionnel

Taux moyen de plusieurs placements :

Soient les sommes d’argents placées à des taux variables et pendant des durées différentes :

L’intérêt global procuré par ces trois placements est :

IG= (C₁T₁J₁ +C₂T₂J₂ + C₃T₃J₃)/ 36000

Définition :

Le taux moyen de ces trois placements est un taux unique qui applique l’ensemble de ces 3 placements donne le même intérêt global.

Si :
IG= (C₁T₁J₁ +C₂T₂J₂ + C₃T₃J₃) / 36000   

Si on place ces capitaux à un taux moyen on va obtenir le même intérêt global c’est-à-dire un taux unique qui est appliqué à l’ensemble des placements donne le même intérêt global.

On obtient:
IG = (C₁T_mJ₁ + C₂T_mJ₂ + C₃T_mJ₃) / 36000 

On peut écrire: (C₁T₁J₁ +C₂T₂J₂ + C₃T₃J₃) / 36000 = (C₁T_mJ₁ + C₂T_mJ₂ + C₃T_mJ₃) / 36000 

(C₁T₁J₁ +C₂T₂J₂ + C₃T₃J₃) = (C₁T_mJ₁ + C₂T_mJ₂ + C₃T_mJ₃)

T_m (C₁J₁ + C₂J₂ + C₃J₃) = (C₁T₁J₁ +C₂T₂J₂ + C₃T₃J₃)

Alors : 

Soit : 

Application :

Quel est le Taux moyen des placements suivants :

Taux proportionnels :

Définition:

Deux taux sont proportionnels si leurs rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation. D’où les résultats suivants: les taux proportionnels au taux annuel ta sont respectivement:

·        ta/ 360 taux quotidien tj

·        ta/ 12 taux mensuel tm

·        ta/4 taux trimestriel tt

·        ta/2 taux semestriel ts

Remarque :

On en déduit que pour une même durée de placement à intérêt simple, deux taux proportionnels correspondent à une même valeur acquise.

6.      Intérêt précompté et intérêt post-compté:

Il existe deux manières de paiement des intérêts :

Ø Lorsque l’intérêt est versé en début de période on parle d’intérêt précompté ou d’intérêt à terme à échoir (Exemple rémunération d’intérêts sur un bon de caisse)

Ø Lorsqu’au l’intérêt est versé en fin de période, on parle d’intérêt post-compté ou d’intérêt à terme échu (Exemple : Remboursement du prêt, rémunération d’un compte bloqué) 

Ces deux modes de calcul ne sont pas équivalents du point de vue financier. Le taux effectif dans le deuxième cas est un peu plus élevé.

Définition :

On calcule le taux effectif du placement à chaque fois que les intérêts sont précomptés et que l’intérêt est calculé sur la base de la valeur nominale. Les intérêts sont versés par l’emprunteur le jour de la conclusion du contrat de prêt, jour ou l’emprunteur reçoit le capital prêté. Il est alors évident que les fonds engagés procurent au prêteur un taux de placement supérieur au taux d’intérêt stipulé.

Exemple1 :

       Une personne place à intérêt précompté 10000 DH pour 1 an, taux = 10%. Quel taux effectif de placement réalise-t-elle ?

Résolution :

L’intérêt procuré par l’opération s’élève à (10000 * 10 *1) / 100 = 1000 DH. Le préteur reçoit
immédiatement cet intérêt.

Les choses se passent donc comme s’il n’avait déboursé que 10000 – 1000 = 9000 DH. Le prêteur recevra, dans un an, son capital de 10000 (il a déjà encaissé les intérêts).

Il aura donc gagné en un an 1000 DH en engageant seulement 9000 DH. Le taux effectif Te de placement est (9000 * Te * 1) / 100 = 1000 soit Te = 11.11%.

7.     L’escompte commercial :

Définition et calcul :

L’escompte commercial, prix du service rendu par le banquier, ne sera autre que l’intérêt, à un taux t indiqué par le banquier, d’une somme égale à la valeur nominale de l’effet montant de l’avance effectuée par le banquier, calculé sur le nombre de jours qui sépare la date de la négociation de l ‘effet de la date d’échéance de l’effet ( ce nombre de jour correspondant à la durée du prêt consenti par le banquier).

Dans la pratique, le banquier retient, outre l’escompte, diverses commissions L’ensemble des retenues : escompte, commission, taxe représente l’agio TTC Si on désigne par :

V = valeur nominale de l’effet

n = durée en jours

t = taux d’escompte

e = escompte commercial

On obtient :

e=v*t*n/36000
Exemple :

Calculons
l’escompte d’un effet de 40 000 DH au 31 juillet remis à l’escompte le 26 juin. Taux 11,25 %.

Valeur actuelle

C’est la valeur que le banquier doit verser au porteur de l’effet à l’occasion de l’opération d’escompte. Elle représente la différence entre la valeur nominale et l’escompte retenu par le banquier.

En désignant par a cette valeur actuelle on aura :
a = V – e

Reprenons l’exemple précédant :

Applications :

·        Quel est le nombre de jours jusqu’à l’échéance d’un effet de 4 800 DH qui escompté au taux de 12 % l’an a une valeur actuelle de 4 720 DH ?

·        Quel est le taux qui a été appliqué à un effet de valeur nominale 780 DH pendant 35 jours et ayant une valeur actuelle de 771,66 DH .

·        Quelle est la valeur nominale d’un effet qui, escompté au taux de 11 % l’an pendant 54 jours a une valeur actuelle de 1 983.50 ?

8.     L’équivalence des effets :

Examinons les cas suivants :

Il arrive qu’un débiteur ayant des difficultés de trésorerie demande à son créancier de remplacer un effet à 40 jours par un effet à 60 jours. A quelle condition cette opération peut-elle se faire sans que le créancier ne subisse de préjudice ?

Un commerçant peut être débiteur vis-à-vis d’un même créancier de plusieurs effets de
valeurs nominales, d’échéances et de taux différents. Peut-on remplacer ces différents effets par un effet unique ?

Ceci, nous amène au problème qui consiste à rechercher “l’équivalence” entre deux effets.

Cas n° 1

Le 15 janvier, on négocie deux effets au taux d’escompte de 11,5 %.

Le premier : valeur nominale = 4 200,00 échéance 12 février.

Le second : valeur nominale = 4 225,88 échéance 3 mars
Calculons la valeur actuelle de chaque effet :

a1 = 4 200,00 – 4 200,00 x 11,5 x 28 / 36 000 = 4 162,43

a2 = 4 225,88 – 4 225,88 x 11,5 x 47 / 36 000 = 4 162,43

On constate que : a1 = a2

Les deux effets ont la même valeur actuelle au 15 janvier. Cette date est appelée date d’équivalence.

Deux effets sont dits “équivalents” à une date donnée si à cette même date ils ont la même valeur actuelle.

Cas n° 2

On considère deux effets :

V1 = 3 650,00 échéance 20 septembre

V2 = 3 709.49 échéance 10 novembre

 Taux d’escompte : 11.25 %

A quelle date ces deux effets sont-ils équivalents ?

Cas n°3

Un effet de 8 650 DH à échéance du 10 avril est remplacé le 31 mars par un effet au 31 mai. Taux d’escompte 11 %

Quelle est la valeur nominale de l’effet de remplacement ?