Un capital est dit placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période de placement, les intérêts versés s’ajoutent au capital et génèrent des intérêts à leur tour. (Principe de capitalisation des intérêts).
Lorsque l’intérêt est incorporé au capital à la fin de chaque période et qu’il en résulte un intérêt pendant la période suivante, on dit que le capital est placé à taux d’intérêt composé.
Il est précisé que les intérêts sont capitalisés à la fin de la période.
En général, les intérêts composés sont utilisés pour les placements à moyen ou long terme (c.à.d. dont la durée est supérieure à un an).
I.Principes et Formules de calcul
On note par:
- C0 : Capital initial, place à la date origine 0
- i : Taux d’intérêt par période de capitalisation des intérêts
- n : la durée de placement
- Cn : la valeur acquise à la date n
1.Cas où la durée n est un nombre entier en périodes de capitalisation
A l’aide de la formule du terme général d’une suite géométrique, on vérifie aisément la
formule fondamentale suivante :
Cn = C0 (1 + i) n
2.Cas ou la durée n ̸∈ N (n’est pas un nombre entier)
Solution commerciale :
Cn= C0 (1+i)n,
où n peut prendre des valeurs entières.
Cn= C (1 + i)n
Cn= C (1 + i)k
+ p/a
Cn= C (1 + i)k
(1+ i)p/a
Avec k= le nombre
d’année entière ; p=le reste de la période ; a=12mois
Solution rationnelle :
où k est le plus grand entier naturel inférieur à n et p le reste de la durée. (n=k+p/a)
Exemple : Supposons que les intérêts sont capitalisés annuellement et que la durée est de 50 mois.
Solution commerciale : Cn= C0 (1+i)50/12
Solution rationnelle : Cn= C0 (1+i)50/12(1+i*50/12)
En effet 50 mois= 4 ans et 2 mois.
II.Calculs Pratiques
1.La valeur acquise
Quelle est la valeur Acquise par un placement de 5000 dh pendant 5 ans au taux de 10% ?
n=5 est un nombre entier, alors on retient la formule générale:
Cn= C0 (1 + i)n
C5= 5000 (1 +10%)5
C5=8052,55 (la valeur acquise)
I=Cn-C0 =8052,55
– 5000 =3052,55 (l’intérêt produit)
Quelle est la valeur Acquise par un placement de 5000 dh pendant 4 ans et 7mois au taux de 5% ?
n=4+7/12=4,58 n’est pas un nombre entier, alors on va opter pour les deux solutions:
Solution commerciale :
Cn= C0 (1 + i)k (1+
i)p/a =5000(1+5%)4+7/12
C4+7/12 = 6252,98
Solution Rationnelle :
Cn= C (1 + i)k[1+ pi/a)]= 5000(1,05)4(1+(0,05*7/12))
C4+7/12 = 6254,79
2.Calcul du taux
Un capital de 5.000 Dhs est placé à intérêts composés pendant 5 ans, sa valeur acquise s’élève
à 8052,55 Dhs, calculer le taux.
3.Calcul de la durée
Un capital de 5.000 Dhs est placé à intérêts composés au taux de 6%, sa valeur acquise s’élève à 6 691,13 Dhs, calculer la durée
4.Calcul du capital initial (la valeur actuelle)
On sait que:
5.Evaluation d’un capital à une date donnée
Cp=Cn(1+i)-(n-p)
On peut aussi calculer la valeur actuelle et par la suite on détermine la valeur acquise.
Une entreprise doit régler 6691,13 dans 5 ans au taux de 6% Combien paierait-elle si elle réglait sa dette dans 2 ans
On sait que:
Cp=Cn(1+i)-(n-p)
C2=C4(1+6%)-(4-2)
C2=6691,13(1+6%)-(4-2) = 5955,08
II.Taux proportionnel et taux équivalent :
Dans la pratique, le taux d’intérêt affiche est annuel alors que les intérêts sont capitalisés par rapport à une fraction d’année (mensuellement, trimestriellement, …). Le taux dans la formule fondamentale doit être exprimé en période. Dans ce cas, on peut envisager deux taux à savoir le taux proportionnel ou le taux équivalent.
Généralisation : Soit i un taux d’intérêt annuel. On suppose que les intérêts sont capitalisés par
période fixe telle que 1 an = k périodes. Le taux qui sera utilisé dans la formule est l’un des deux suivants :
III.Equivalence de capitaux:
On dit que deux ou plusieurs capitaux sont équivalents à intérêt composé si à une
même date quelconque leurs valeurs actuelles sont égales.
Equivalence de deux capitaux :
C1(1+i)-n1= C2(1+i)-n2
Equivalence de plusieurs capitaux :
Cn(1+i)-n=
C1(1+i)-n1+ C2(1+i)-n2…..
[…] de travailler efficacement les exercices, je vous recommande de vous référer au cours (chapitre 2). Voici une série d’instructions pour vous aider à utiliser le cours comme ressource […]
[…] : le taux d’intérêt correspondant à la période […]
[…] correctement aux questions. les questions touchent quatre chapitres: les intérêts simples, les intérêts composés, les annuités et les […]
[…] Le capital initial reste invariable. en outre il est variable dans le cas des intérêts composés […]
[…] Il y a deux types d’intérêt: l’intérêt simple et l’intérêt composé. […]