Les annuités

I.Notion des annuités

1.Définition :

On appelle annuités les sommes qui sont dues de façon régulière.

Dans le cas des annuités, le montant est payé ou perçu à la même date chaque année, l’année étant la durée. Toutefois, les paiements peuvent être effectués trimestriellement, mensuellement ou semestriellement. Dans ces cas, nous parlons de paiements mensuels, trimestriels ou semestriels.

Les versements annuels ont pour objectif soit le remboursement de la dette, soit la constitution d’un capital.

2.Utilité :

L’étude des annuités est cruciale car elle permet de résoudre de nombreuses questions relatives à :

• Les emprunts (remboursement du crédit).
• L’investissement (formation du capital, retraite par exemple).
• La rentabilité d’un investissement.

3.Les caractéristiques d’une suite d’annuités :

Une suite d’annuités est caractérisée par quatre éléments :

• Sa périodicité ; (n)
• Le nombre de versements ; (n)
• Le montant de chaque versement ; (a)
• La date de chaque versement.

I.Annuités constantes de fin de période :

Ici, les sommes sont payables à la fin de chaque période, en outre ces sommes sont constantes.

1. La valeur acquise :

Mise en situation :

Calculer à 5% la valeur acquise par 4 annuités constantes de 100 DH chacune immédiatement
après le dernier versement. La situation peut être résumée par le schéma suivant :

S=100(1,05)^4-1+100(1,05)^4-2+100(1,05)^4-3+100(1,05)^4-4

S=100+100(1,05) +100(1,05)²+100(1,05)³

De façon générale :

Soient :

a : le montant de l’annuité constante

i : le taux d’intérêt correspondant à la période retenue

An : Valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité

D’où :

An = a + a(1 + i) + a (1 + i)² +
… + a (1 + i)^n-1        (1)

On peut écrire :

(1+i)An=a(1+i)+ a(1 + i)²+ a(1
+ i)³…..+ a (1 + i)^n-1+ a (1 + i)ⁿ       (2)

En posant : (2) – (1), on
obtient :

An (1+i-1) = a (1 + i) ⁿ-a

Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme (a), de raison géométrique q = (1+i) et comprenant n termes. La formule devient donc :

Remarques :

1. Ici le nombre (n) indique à la fois l’époque à laquelle on évalue la suite d’annuité et le nombre de versements.
2. On applique cette formule quand on se situe au moment du dernier versement
3. Il ne faut jamais oublier que le nombre de versements est un nombre entier. Les exemples ci-après ont pour objet de manipuler la formule

Exemples d’application

Exemple 1

Calculer la valeur
acquise au moment du dernier versement, par une suite de 15 annuités de 35.000  chacune. Taux de l’an est de 10 % 

Exemple 2

Calculer la valeur acquise, au moment du dernier versement, par une suite de 4 annuités de 50 000 Dh chacune. Taux : 10% l’an.

Exemple 3

Combien faut-il verser à la fin de chaque semestre pendant 8 ans, pour constituer au moment du dernier versement, un capital de 450.000Dhs, taux semestriel 4,5 %

Exemple 4

2.     La valeur actuelle :

On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme des annuités actualisées (Ao) exprimée à la date origine.

Si nous désignons par :

• Ao : la valeur actuelle par la suite des annuités
• a : l’annuité constante de fin de période
• n : le nombre de périodes (d’annuités)
• i : le taux d’intérêt par période de capitalisation

Exemples d’application

Exemple 1

Calculer la valeur actuelle à l’origine d’une suite de 12 annuités de 32.500Dhs chacun. Taux d’escompte 8,5 % l’an.

Exemple 2

Quelle est la valeur actuelle au taux d’actualisation de 6% d’une suite d’annuité constante de 1 500 dh versées à la fin de chaque année pendant 7 ans

La valeur actuelle de cette suite d’annuités constantes est donc :

Exemple 3

Combien faut-il payer à la fin de chaque période pour rembourser une dette de 350 000
DH par le versement de 14 annuités constantes au taux de 10,5% ?

On sait que :

II.       Les annuités constantes de début de période :

1.      La valeur acquise :

Si on considère que les flux sont versés en début de période, on obtient le graphique suivant :

a : l’annuité constante de fin de période

n : le nombre de périodes (d’annuités)

i : le taux d’intérêt par période de capitalisation

On a alors :

An=a(1+i)+
a(1+i)²+ ……..+a(1+i)^n-1+ a(1+i)ⁿ             (1)

On peut écrire :

(1+i)An= a(1 + i)²+ a(1 + i)³…..+
a (1 + i)ⁿ+ a (1 + i)ⁿ⁺¹                      (2)

En posant : (2) – (1), on obtient :

An (1+i-1)= a (1 + i)ⁿ⁺¹– a(1+i)

An(i)= a (1 + i)ⁿ(1+i)- a(1+i)

An(i)= a (1+i)[ (1 + i)ⁿ –1+]

Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme a(1+i), de raison géométrique q=(1+i) et comprend n termes. La formule devient donc :

2.     La valeur actuelle :

On sait que :